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その他 オズのオズマ娘 29歳 Android 2019年12月14日(土) 14:26
投稿ID:9877
Re:数学・物理系
賢者の石のレシピだけ♪
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その他 オズのオズマ娘 29歳 Android 2019年12月14日(土) 14:33
投稿ID:9878
キアロキニアハートのレシピです。どうぞ
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男性 グザイ 日本以外 Android Tablet 2019年12月16日(月) 20:47
投稿ID:9883
数Ⅲを少しはみ出して。
極座標と直交座標の被積分関数の変換のやり方。

◆回転体の体積

三次元の直交座標(x,y,z)と極座標(r,θ,φ)には、つぎの関係がある。

x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosφ

ヤコビアンJ=∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)は、

J=r^2sinθdrdθdφ

である(偏微分して行列式を計算するだけ)。

三次元空間で値が定められた関数をρとする。

座標系のとり方はどうとってもその人の勝手だから、ある人は直交座標系を使うし他の人は極座標系を使うとする。

どちらの座標系を使っても、同じ点での関数値は等しい。よって、

ρ(x,y,z)=ρ(r,θ,φ)

同じρという記号を使ったが、もちろん関数形は違う。

同じ領域で体積積分すれば、ヤコビアンを使って次式となる。

∫∫∫ρ(x,y,z)dxdydz=∫∫∫ρ(r,θ,φ)r^2sinθdrdθdφ

ρが位置に依らずに一定値1をとるとする。すると、

∫∫∫dxdydz=∫∫∫r^2sinθdrdθdφ

これは、領域Vの体積である。

右辺はφで0から2πまで積分できて、

∫∫∫dxdydz=∬2πr^2sinθdrdθ

右辺の重積分の順序をrを先に行うと、つまりrがθの関数として、θを定数とみなしrを先に積分すると、

∫∫∫dxdydz=∫(2π/3)r^3sinθdθ ★

となる。

例えば、球の体積はrがθに依らず半径Rとすれば、積分記号の外に出せて、

∫∫∫dxdydz=(2π/3)R^3∫sinθdθ、積分はθが0からπまでで、

(4π/3)R^3

となり、公式どおりの結果になる。■
男性 グザイ 日本以外 PC 2020年01月03日(金) 16:10
投稿ID:9930
「数」はどれくらいあるのか。

数はどれだけあるのか、という素朴な疑問を持ったとして。
どれだけあるかといったって、自然数にしても、1,2,3,…∞,と無限にあるのだから無限個ある、となる。
偶数(自然数の範囲内で)はどれくらいあるのか、といえば、2,4,6,…∞、とこれまた無限にある。

では、自然数と偶数とはどちらがたくさんあるか、となると偶数は自然数から1飛びにならべた数だから、自然数は偶数の2倍ある、と考えたくなる。

無限というものがでてくると、このへんから推論が怪しくなる。

どちらの方がたくさんあるか、と比べるときは、もっと簡単にこんなふうにする。
例えば、AクラスとBクラスの生徒の人数を比べるときは、ひとりひとりを数えずに、それぞれペアになって手をつないでもらう。

ペアができずに人が余ったほうのクラスが生徒がたくさんいるクラスとわかる。
ペアを作るという方法ほど確実なやり方はないだろう。

同じように、自然数と偶数、どちらがたくさんあるか比べたいから、ペアをつくる。
1,2,3,4,5,…
2,4,6,8,10,……
上と下とがペアになっている。
こうすると、必ずペアができ、これが無限に続くから、ペアにならずに余ったものが出てこない。

つまり、偶数と自然数は同じ数だけある!

部分が全体と同じになるという例である。

自然数の集合も、偶数の集合も、元が数えられるから可算集合という。

有理数の集合(分数で表される集合。整数を含む)も可算集合である。

どんなふうに並べるかというと、1例として、分子分母を足した数が1,2,3、…となるように並べればよい。同じ数、例えば、1/1と2/2が出てきたら、どちらかをとればよい。

1/1,1/2,2/1,1/3,3/1,1/4,2/3,3/2,4/1,…

と並べれば、∞の個数はあるけど書くことはできる。書くことができるということは数えることができる。

さて、異なる2つの有理数p,qをもってきてp<qとしたとき、必ずpとqの間には異なる有理数rが存在する。例えばr=(p+q)/2。p,qの幅がどんなに狭くても、必ずその間の有理数rが存在する。つまり数直線上には有理数が隙間なく並んでいる(稠密性という)。数直線を閉区間(0,1)に限ったとしても、その間には無限個の有理数が並んでいる。そして、その有理数の集合は可算集合である。

閉区間(0,1)の間にある有理数の他に、無理数もある。例えば√2/2は数直線(0,1)上にある無理数のひとつ。

(0,1)という数直線は有理数と無理数で埋め尽くされているから、その数が無限個あるとしても無理数も数えられる可算集合だとしよう。そうすれば有理数も可算集合だから、(0,1)上の数は書き下すことができる。

仮に、つぎのように書き下せたとする。
1.0.23654…
2.0.23784…
3.0.56874…




しかし、どのように書き下してもそれらに属さない数が存在する。
「1」の少数第1位が偶数なら小数第1位を奇数、奇数なら小数第1位を偶数、
「2」の少数第2位が偶数なら小数第2位を奇数、奇数なら小数第2位を偶数、
「3」の少数第3位が偶数なら小数第3位を奇数、奇数なら小数第3位を偶数、




このようにして作った数は、上に書き下したどの数とも一致しない。
つまり、(0,1)の上にある数の集合は数えられない集合、非可算集合である。
有理数は可算集合であるから、(0,1)の上にある数の集合から有理数を除いた集合、それは無理数の集合であるが、これが非可算集合となる。

上で行った少数第1,2,3,をそれぞれ異なる数に置き換える論法は、それが対角線上に置き換えるようにみえることから、対角線論法という。カントールというおっさんが初めて行ったので、カントールの対角線論法という。

以上から、可算集合である有理数に対し、無理数が数えられない非可算集合であることがわかり、どちらも無限個あるが、無理数のほうがずっと「濃く」数直線上にあることになる。

カントールは集合論の創始者であったが、当時の数学界では異端児扱いされ、あげくの果てに精神を病み病床に伏せり、そのまま亡くなってしまった。

なにごとも、ほどほどに。。

wiki
https://ja.wikipedia.org/wiki/ゲオルク・カントール
男性 大阪府 Android 2020年01月04日(土) 02:34
投稿ID:9931
フィソロフィーがダビに係ることを 今 知った
数学恐ー!!ヽ(゚д゚ヽ)(ノ゚д゚)ノ!!

数学者も人間 その個人の考えだからね 区切りわ自分
答えわ納得する 腑に堕ちたとこが答えだから
黒猫が横ぎったら不吉だよ!と女に言った男
3.14をパイと言った学者わ天才
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男性 グザイ 日本以外 Android Tablet 2020年01月09日(木) 20:41
投稿ID:9948
因数分解ですごいの見つけた。

問)次式を因数分解しなさい。
x^5+x^4+1

解)
x^5+x^4+x^3-x^3+1

x^3(x^2+x+1)-(x-1)(x^2+x+1)

(x^3-x+1)(x^2+x+1)■
男性 グザイ 日本以外 Android Tablet 2020年01月11日(土) 19:57
投稿ID:9952
二問目

問)次式を因数分解しなさい。
x^4+x^2+1-2xy-y^2

解)
x^4+x^2+x^2-x^2+1-2xy-y^2

x^4+2x^2+1-x^2-2xy-y^2

(x^2+1)^2-(x+y)^2

(x^2+1+x+y)(x^2+1-x-y)■
男性 グザイ 日本以外 PC 2020年01月12日(日) 11:29 編集済み
投稿ID:9955
慣性質量と重力質量

◆力学の話

宇宙の彼方に室内が無重力状態の大きな宇宙ステーションがあって、そこで生まれた人が学生になり物理の授業で物理の力学を学んだとする。

質量Miに加速度αを掛け算したものが力Fに等しい。

Miα=F

Miのiはinertia(慣性)の「i」である。

その人は地球のことは知っていたが、とうとう地球旅行をすることになり地球にやってきた。地球にきて驚いたことには、すべての物質が地面の方向に引かれて地面にくっついてしまうということだった。

その現象をいろいろ調べているうちに、もっと驚いたことには、どんな質量MiでもそのMiに固有な量Mgに比例し同じ加速度gで落ちるように「見える」ことだった。
比例定数をMgとしよう。Mgのgはgravity(重力)の「g」である。
これを重力質量と呼ぶ。
(導入物語はここで終わり)

運動方程式はこう書ける。

Mi・α=Mg・g

α=(Mg/Mi)・g

(Mg/Mi)が1となることは自明ではない。経験的に1になりそうだ、と人類は知っているだけである。

これが1なのかどうかは実験して確かめるしかない。Eotvosという人が実験した。
1との相対誤差0.000001であった。
その後、実験精度が向上し、その相対誤差、
0.00000000001
まで一致していることがわかった。

それで、今では慣性質量Miと重力質量Mgとは「等しい」と考えられている。

斜面を滑り落ちる物体の運動など物理の力学の問題があるが、運動方程式を立てるとき、左辺に書く質量Miと右辺に書く質量Mgとを同じMという記号で表すことができるのは、こういう意味なのです。■
男性 グザイ 日本以外 Android Tablet 2020年02月21日(金) 23:23
投稿ID:10213
問題
グラスに水をいっぱい入れ、カリフォルニアでふつうの窓わくのところに置いたままにした。
(1)すっかり蒸発してしまうには時間がどのくらいかかるか計測しなさい。
(2)グラスの水からは単位面積あたり単位時間のうちに、いくつの水分子が出ていくか計算しなさい。
(3)(1)の答と全地球の平均降水量との間にどのような関係があるか論じなさい。
男性 グザイ 日本以外 PC 2020年02月24日(月) 15:21
投稿ID:10246
■確率は場合の数を全て数え上げるのが大事
-少なくとも○○を満たす⇔全てが〇〇を満たさない、の余事象-

◆問題
pを0<p<1となる実数とする。
四面体ABCDの各辺はそれぞれ確率pで電流を通すものとする。
このとき、頂点AからBに電流が流れる確率を求めなさい。
ただし、各辺が電流を通すか通さないかは独立で、辺以外は電流を通さないものとする。

◆解答
p+(1-p)p^2{1-(1-p)^2}+2{(1-p^2)p^2+(1-p)^3p^3}
=p(-2p^5+7p^4-7p^3+2p+1)