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男性 グザイ 日本以外 Android Tablet 2019年06月30日(日) 15:31 編集済み
投稿ID:9335
数学・物理系
スレ立てます。

「数学・物理系」

なんでも有りです。
ガッツリ理系でも良いし、こんな不思議なの見つけて感動したよ!でもなんでも。

※スレ主ですが、なにもコメントもしないし、放任しますし、自由です。
男性 グザイ 日本以外 PC 2019年06月30日(日) 16:09
投稿ID:9336
数学は完全か?

なんにしろ、理論と呼ばれるものは完全でなくてはならず、その理論中で使われる数式は、数学的にも証明されていなければならない。

ここでの話は、数学の証明とは本当に完全なのだろうか、という話である。

証明するには、紙に書くにしても話して説得させるにしても、言葉、というのが必要だ。

新しくなにか理論を構築したとしよう。それを伝えるには言葉が必要だ。問題の本質を失わずに簡略化するために、言語は英語だとしよう。

英語はアルファベット26文字から形成される。
或る概念を単語で示したとき、その単語が示す概念は他の既知の単語で表現される。英英辞典と同じだ。わからない英単語は、別の既知の英単語を用いて詳述されている。

限界を考える。
アルファベットは26文字である。仮定をしよう。一番長い単語は一続きのアルファベットで100文字以下だとする(もちろん、そんな英単語は英英辞書を調べればわかるが存在しない。ここでは、仮に在るとして最大を考える)。

すると、26の100乗回以下の定義の後には、同じ単語が現れることになる。
これは、堂々巡りであって、定義できない。

これでは、完全、とは言えない。

ユークリッド幾何を中学から学んだ時には、「直線」や「平面」などは、直感的に理解できるとして、何の定義もなかった。

このように、言語が有限であるから定義できないものから出発するのが常であった。

つまり、不完全である。

数学とは、論理を超えた何かから始まっているはずである。
なぜなら論理から始まっているのならば、すべては解明され尽くしているのであるから。

それは、いまは誰にもわからない。
男性 グザイ 日本以外 PC 2019年07月07日(日) 06:17 編集済み
投稿ID:9373
寝不足な日曜日の朝の物思い。
-思いついたまま書いただけ。推敲などしていません-

五感というものがある。
人間に備わっている感覚だ。
人は幼少の頃は五感を通じて外界を知る。
そして、世の中とはこういうものなのか、と学習し育っていく。
それは、中学、高校と進んでも変わらない。
言葉を学び文字を学び、本を開き字を読んで、いろいろなことを知っていく。

いかにも本当らしいが、本当に本当なのだろうか。

例えばコウモリ。
人の聴覚には聴こえない振動数の高い超音波を聞くことができ、暗闇を互いにぶつからずに飛び、獲物を捕獲する。
例えば犬。
人の嗅覚を遥かに凌ぐ能力を備え、嗅覚だけで獲物を追跡していくことが可能だ。
例えば鷹。
人の視力など比較にならないほどの高機能な視力を持ち、高い空から地上にいるネズミを見つけ捕食する。

こう考えてみると、人が「現実」と認識しているものは、実際に存在している「現実」のごく一部に過ぎない。

認識だけに留まらない。
そのごく一部の「現実」から、人は抽象化という作業を脳内で無意識に行う。
分類してグループに分け共通の特徴を考え言葉でシンボル化する。
抽象化である。
たくさんのシンボルを作成し、それに基いて考える。
この時点で、既に「現実」から離れている。
やっていることは単に脳内作業だ。

人の現実とは、世に存在している現実とは違う。
脳内でシンボル化した世界が、人にとっての現実となる。
たいていは、それで困らない。
世の中がそう動いているから。

お金などはいい例だ。
あれは、ただの金属とただの紙切れ。
それに価値を与え、経済をお金で回している。

数学もその類である。
幼児がはじめて数を覚えるとき、数を現実の物の個数と対応させながら覚えるが、実は数と現実の物の個数には、なんの関係もない。
数というシンボルと物の対応付けを人が勝手にしているだけだ。

数学は抽象の最たるものだ。
整数を構成するのに、現実社会の物は不要だ。
公理を与え理論構築されたものが数の概念。

このように高度に抽象化された数学は、なぜか研究対象が自然である物理に使われる。
なぜ自然を表現するのに、自然とは全く関係のない脳内で抽象化された数学が有用なのか、わからない。

ここから全く憶測だが、抽象化された数学でしか表現できない自然のごく一部しか、人間は知ることができないのかもしれない。

この問いは、いつか解かれるのだろうか。
男性 グザイ 日本以外 Android Tablet 2019年07月27日(土) 20:20 編集済み
投稿ID:9502
オカルトやトンデモ学会と、本当の科学の違いについて

これだけ世界中に人がいれば、いろんな人がいろんなことを考える。
なかにはとても興味深かったり思わず信じてしまいそうな話もたくさんある。
こういう話は現代だけに留まらない。数百年前から存在する。オカルトと呼ばれたり、いまはトンデモと言われたりする。

例を挙げれば良くわかるかもしれない。

地球は太陽の周りを1年かけて1周する。ほぼ円軌道だ。
この説明は、高校生になればわかる。太陽からの重力という中心力を受けて地球は公転を続ける。太陽や地球の質量、万有引力定数、太陽までの距離、から地球の公転周期が計算できる。この考え方を「仮説1」とする。

太陽が地球の周りを別の仕方で説明した人がいるとする。
その説明はこうだ。
「宇宙空間には目には見えないがたくさんの天使で溢れかえっていて、天使たちはそれぞれの使命を神から授けられている。地球の近くにいる天使は、地球を押して太陽の周りを1年で1回、公転するように押し続けなくてはならない。」この考え方を「仮説2」とする。

仮説1も仮説2も、初めて聞く人には同等に思える。どちらも確からしく思える。しかし、いまは仮説1のほうが真理に近いとして受け入れられている。

仮説1と仮説2との違いはなんだろう。
それはこうだ。仮説1は、地球に限らず、火星であっても火星の質量や太陽までの距離がわかれば火星の公転周期が計算できる。
残念ながら、仮説2では火星の公転周期はわからない。目に見えない天使に聞かなければわからない。

仮説1と仮説2との決定的な違いは、仮説1はその仮説から計算される周期を実験値と比較できるのに対して、仮説2は実験値との比較ができない。

仮説1は実験値とその仮説1からの計算値を比較できる点で仮説2に優る。しかし、実験値と比較できただけではまだ足りない。実験値を説明できるような値が仮説から計算できたときに、その仮説はより真理に近い仮説としての地位を得る。

やみくもに、もっともらしいことを鵜呑みにしてはいけない。きちんと自分で理解し実験事実に照らし合わせることが大事である。

なお、仮説1ではどうしても説明できない現象があり、長い間、天文学者を悩ませた問題があった。水星の近日点の移動である。仮説1でどんなに精密計算をしても実験値を説明できなかった。それを可能にしたのは、アインシュタインの一般相対性理論だった。
なお書きは、自然は人間にほとんどの部分を見せてくれるけど全部は見せてはくれない、という1例です。

仮説1は、ほとんどのマクロな現象を説明できるからオカルトやトンデモには入らないだろう。だから学校で教える。
仮説2はいまの時代で考えれば馬鹿馬鹿しいかもしれないけど、天使や神が存在するという人たちにとっては、いまでも論争の種になっている。
男性 グザイ 日本以外 Android Tablet 2019年08月12日(月) 14:33 編集済み
投稿ID:9594
科学者には、インチキ科学の情報を世間に伝える義務がある。

「われわれは自然の法則に満たされた世界に暮らしており、魔法はけっして起こらない」

そのことを理解して頂きたいのが、科学者すべての願いである。

どれほど信心深くても、どれほど如才ない人でも、自然の法則を出し抜いたり、その裏をかくことはできないのである。
男性 グザイ 日本以外 Android Tablet 2019年08月16日(金) 17:17 編集済み
投稿ID:9613
夏休みの自由研究 足し算について

問題)整数も足し算も知らないという前提で、1+1=2 を証明しなさい。

考察)

この問題の意味は、整数も足し算も定義されていない状況から出発して、1に1を加えると2になることを示しなさい、ということ。

整数を知らないというのが前提だから、「1」も「2」も単なる記号である、というところから考察を始める。つまり、数とは何か?から考える。

まず、整数とは何かを定義する。

次のような空集合ではない集合Zを考える。
Zの元、Z={…,a,b,c,…}、は写像φによって次のような関係がある。
φ(a)=b、ただしa≠b。
写像φはZの元をZの元に対応させる1対1対応とする。
ここで、φ(x)=x、と自分自身へ対応させる恒等写像は考えないこととする。
なにをしているかというと、Zの全ての元について、写像φで元に順番をつけようとしている。
φ(a)=bとは、aの次に来るのがbであるという意味。
φ(b)=cとは、bの次に来るのがcであるという意味。

そこで、Zの元を写像φで移した像をZ(+)という記号で書けば、
ZとZ(+)は、1対1対応しており、それぞれに含まれる元が等しいから、次のようになる。

Z=Z(+)  ①

ここで、Z、Z(+)は集合であり、「=」とは集合が等しいことを表す記号である。

①を整数の公理①とする。

しかし、①は広すぎる。なぜなら、
M1={・・・d,e,f・・・}という順番の無限集合と、
M2={・・・は,に,ほ・・・}という順番の無限集合との合併集合M1∪M2も公理①を満たす集合となる。
それを避けるために、次の条件を課す。
「Zは写像φに関し、不可分である。」 ②

そうすると、
M1={・・・d,e,f・・・}
M2={・・・は,に,ほ・・・}
の合併集合M1∪M2、は考えなくてよく、例えば、M1={・・・d,e,f・・・}、だけ考えればよい。

換言すれば、M⊂Zであって、M=M(+)であるとき、M=Zである。 ②
これを、整数の公理②とする。

まとめると、

Z=Z(+)  ①
M⊂Z、M=M(+)ならば、M=Z ②

①と②を整数の公理とし、①と②を満たす集合Zの元を整数と定義する。これで、整数とはどんなものかが明確になった。

つぎは、足し算を定義する。

さて、写像φはZの或る元xを、次の元に移す写像であった。次の元を記号でx(+)で表そう。

式で書けば、こうなる。

x(+)=φ(x)

これを、xの関数とみると、足し算が自然に定義できる。

φ{φ(x)}=φ{x(+)})={φ(x)}(+)

これを一般化して、

F{x(+)}={F(x)}(+)  式(1)

となる関数Fを求める。

Fを確定するために、Zから任意の一つの数を取り出して、それを記号「0」で表す。

aを任意の数として、次の条件を課す。

F(0)=a

すると、記号「0」の他に、記号「1」、「2」を使い、0(+)=1、1(+)=2、…と記号の順番を決め、式(1)を用いれば、

F(1)=a(+)、F(2)={a(+)}(+)、…というように、Fの値が次々と定まる。

このF(x)をもって、足し算「x+a」の定義とすればよい。

xもaも、集合Zの任意の数だから、両方を1とすれば、

F(1)=1(+)=2

よって、1+1=2、であることが言えた。

厳密には、関数Fの一意性の証明と存在証明が必要だが、ここでは略す。

さて、上記考察を振り返ってみてわかることは、整数を定義するのに自然界に存在する物体など一切考慮していないこと。
整数の公理から出発して集合の元として整数を定義し、その元どおしのφによる対応関係だけで足し算を定義していることに留意。

誰でも子供のころは、算数の授業で数を教えてもらうときに、おはじきなどの自然界の「物」を使って感覚的に数とは何かを教わり、つぎに足し算を教わるけれど、そういう子供たちの中で数学が好きな子が数学者になって改めて足し算を考えるときには、上の考察のように考える、という内容でした。

数学と自然界とは無関係。だから数学は自然科学ではないのです。
男性 グザイ 日本以外 Android Tablet 2019年08月17日(土) 13:19
投稿ID:9617
1+1=2の話で、ペアノの公理が浮かんだ方が圧倒的多数だと思います。自然数を定義し1+1=2を説明するやり方です。

ここでは、日本の著名な数学者、高木貞治先生の整数から出発するのを紹介しました。個人的に高木貞治のやり方が好きだったので。
男性 グザイ 日本以外 PC 2019年09月01日(日) 16:43 編集済み
投稿ID:9661
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わからないから基礎から勉強します、っていうとダメ。
基礎は初歩じゃない。とても深い。
突き詰めると基礎だけで「人生」が終わるくらい。
(先に書いた1+1=2のハナシを読んでみて下さい。深いんです。まだまだあの書き方じゃ足りないんです)

だから、基礎を応用して作られた応用問題の「入試問題」をたくさん解く。

「基礎」は簡単なことで「応用」が難しいんだ、と考えがちですが、まったく逆です。「基礎」ほど深くて難しいものはないんです。

実際の入試問題をたくさん解いてくださいね。

これはほんとのことですよ。

※写真はネット拾い画
男性 グザイ 日本以外 PC 2019年10月01日(火) 20:53
投稿ID:9727
<集合の等式>

集合Aと集合Bとが等しいとき、こう書く。

A=B

集合Aと集合Bとが等しいとは、集合Aと集合Bとに属する元が全て同じ場合のことをいう(定義)。

言い換えれば、A⊂B、且つ、A⊃Bが成立するとき、A=Bである(定義)。

■問題
次を証明せよ。
{2x+7y|x,yは整数}={z|zは整数}

■解答
左辺の集合をAとする。右辺の集合をBとする。
A⊂B、且つ、A⊃B、を示せばよい。

①A⊂Bについて
m∈A ⇒ m∈B を示せばよい。
集合Aの定義から、2,x,7,yは整数である。したがって、整数の積、整数の和は、また整数である。
よって、m∈A ⇒ m∈B。
A⊂Bが示せた。

②A⊃Bについて
n∈B ⇒ n∈A を示せばよい。
次の恒等式が成立する。
n=2(-3n)+7(n)
この形は、任意の整数nを与えたときに、Aの要素として書けることを意味する。
よって、n∈B ⇒ n∈A
A⊃Bが示せた。

①と②から次が示せた。
A⊂B、且つ、A⊃B

よって、集合Aと集合Bとは同じ集合である。Q.E.D.■
男性 グザイ 日本以外 PC 2019年11月17日(日) 10:27
投稿ID:9799
右と左

秀逸な解答。
国語では間違いだろうけど、数学的には「その心」が極めてよく理解されている解答。■

※写真はネットの拾い画