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男性 ラビすけ 神奈川県 PC 2018年11月23日(金) 12:47
投稿ID:6740
数学、物理系の人
編集してて、書き込みぶんを削除しようとしたら、板ぜんぶ消えてしまいました…!!

アボガドさん、すみません…、たくさん書いてたのに…。

またチマチマ書いてきます……(TT)
  • 0
男性 ラビすけ 神奈川県 PC 2018年11月23日(金) 12:49 編集済み
投稿ID:6741
そんで、編集後のつづき。。

3連休を前に暇人マン。

H30のT大理学部物理・大学院理学系研究科物理学専攻の院試問題を解いてみた。
8/21にあったそうで13:00~17:00までの4時間で大問6問中、4問を解く。ネットで問題見つけた。
その中から量子力学の問題。大問の1問目。

二つの状態|1>と|2>からなる量子力学系を考える。この二つの状態は1に規格化されており(<1|1>=<2|2>=1),かつ直交する(<1|2>=0)ものとする。この系のハミルトニアンHは

H=

[<1|H|1> <1|H|2>]
[<2|H|1> <2|H|2>]

=

[E1 V ]
[V E2]

で与えられるとする。E1,E2,Vは実数とする。以下の設問に答えよ。

問1.
状態|2>に対する演算子(H-E2I)および(H-E2I)^2の期待値を求めよ。ただし、Iは2X2の単位行列である。

解答)
(H-E2I)=
[E1-E2 V]
[V 0]

ケット|2>は行列表示で列ベクトル[0 1]で表せる。ブラ<2|は行ベクトル[0 1]で表せる。
|2>=
[0]
[1]

<2|=[0 1]

だから、期待値は、<2|(H-E2I)|2>1を行列形式で計算すると、0となる。

0 (答)

(H-E2I)^2=
[E1-E2 V] [E1-E2 V]
[V 0] [V 0]

=

[(E1-E2)^2+V^2 (E1-E2)V]
[(E1-E2)V V^2 ]

だから、期待値は、<2|(H-E2I)^2|2>を行列形式で計算すると、V^2となる。

V^2 (答)

問2.
いま、E1,E2,Vは時間によらない一定値で、0<Vとする。この系の二つのエネルギー固有値E±(E-<E+)を求めよ。また、それらに対応する固有状態を|Ψ+>,|Ψ->とするとき、
|Ψ±>=|1><1|Ψ±>+|2><2|Ψ±>の係数の比、
<2|Ψ+>/<1|Ψ+>および<2|Ψ->/<1|Ψ->をE1,E2,Vを用いて表せ。

問3.
この2つのエネルギー固有値|Ψ+>と|Ψ->は直交することを示せ。

解答)
問2と問3をまとめて解く。
固有値をλとすれば、以下の固有値問題を解くこととなる。

H|Ψ>=λ|Ψ>

すなわち、0でない|Ψ>が存在するためには、次の条件が必要である。

det|H-λI|=0

具体的には以下の式の解λが求めるエネルギー固有値である。

(E1-λ)(E2-λ)-V^2=0

これから、

λ=(E1+E2+sqrt((E1-E2)^2+4V^2)/2,(E1+E2-sqrt((E1-E2)^2+4V^2)/2

が求める二つのエネルギー固有値E±である。(答)

また、それぞれエネルギー固有値に対応する固有値ベクトルは、

(1,-(sqrt(4V^2+E2^2-2E1E2+E1^2)-E2+E1)/2) ①

(1,(sqrt(4V^2+E2^2-2E1E2+E1^2)+E2-E1)/2) ②

ベクトル①と②の内積は、計算すると0である。(答)

以上の設問ではハミルトニアンの行列要素E1,E2,Vは一定値をとると考えたが、以下では設定を少し変える。まず、E1が実数値のパラメータλにE1=E2-ξλの形で依存し、ξ,E2,Vは実定数とする。このときm、パラメータλに依存するハミルトニアンH(λ)

[E2-ξλ V]
[V E2]

を考えよう。以下の設問では、0<V<<ξの関係が満たされているものとする。

問4.
ハミルトニアンH(λ)の二つの固有値をE+(λ),E-(λ)(ただしE-(λ)<E+(λ))とする。パラメータλの値に依らずE+(λ)-E-(λ)≧2Vの関係が満たされることを示せ。

解答)
H(λ)の固有値問題を考えたとき、同様に、0でない固有ベクトルが存在するためには、次の条件が必要である。

det(H(λ)-tI)=0

tは固有値。具体的な数式は次式。

(E2-ξλ-t)(E2-t)-V^2=0

tの2次式だから、tについて解けば2つの解があり、

t=[(2E2-ξλ)±sqrt((2E2-ξλ)^2-4{E2(E2-ξλ)-V^2})]/2

となる。

2解の差E+(λ)-E-(λ)を計算して整理すると、

[E+(λ)-E-(λ)]=sqrt{(ξλ)^2+4V^2}≧2V(答)

~~
以上は時間に依存しないシュレディンガー方程式の問題で、この下にあと2問、時間に依存したシュレディンガー方程式の問題があったけど、上付き下付き添字、チルダ~など記号が多すぎて、テキスト入力の限界…。ここで書き込みやめた。
ヽ(^o^)丿
  • 0
男性 ラビすけ 神奈川県 iPhone 2018年11月23日(金) 19:48
投稿ID:6745
Leonard Susskind ってオッチャンの物理講義がスタンフォード大からでてる。Theoretical Minimumってシリーズで、これ最近ねっころぎながら視てる。
英語も平明だし、けっこうオススメ。
このオッチャンはスーパーストリングやってるオッチャン。物理屋になる前は病気になった父親助けるために16才から配管工事の仕事してたとのこと。いいね!

https://m.youtube.com/watch?v=iJfw6lDlTuA
男性 ラビすけ 神奈川県 PC 2018年11月28日(水) 22:51
投稿ID:6780
太陽と地球のこと

小学生が見る理科図鑑には宇宙のことが書いてある。
太陽は水素でできた燃える球体で地球はその周りを公転している、などなど。
きれいな絵が載ってたりする。

子供のころは、宇宙はすごいな~とまさに子供の感覚そのままで驚いてたりした。
なぜか理科では地球の大きさや太陽の大きさや太陽までの距離などは詳しく教えるようなことはなかった。

それでいて、高校になると遠心力や求心力など習い、第一宇宙速度や第二宇宙速度(地球からの重力を振り切って地球を脱出する速度)など、地味な計算をしたりする。

理科教育は、テスト問題を解くまえに、もっと驚くようなことを子供に教えたほうがいいと個人的に思う。

例えば、太陽と地球の大きさと距離を実感させるとか。

太陽の大きさは地球を109個並べた大きさ(らしい)。
具体的には、直径1400000000メートル。

地球の直径は、13000000メートル。

地球と太陽との距離は、150000000000メートル。

数字がでかすぎてよくわからないから、太陽を直径1センチメートルとする。

すると、地球は直径0.1ミリメートル。

地球と太陽との距離は、1.1メートル。

こうするとわかり易い。

太陽はパチンコ球くらいの大きさ。
地球は0.1ミリメートルだから、0.5ミリのシャーペンで紙にポチっと点を描いたくらいのホコリみたいな大きさ。

0.1ミリメートルのホコリが、1.1メートルの距離離れたパチンコ球の周りを、1年かけて1周する。

なんと地球の小さいこと!なんと太陽まで遠いこと!

しかも、地球と太陽との間には、0.1ミリより小さい水星と金星の2つのホコリしかない!

2メートルサイズの空間に、パチンコ球ひとつと、ホコリ3つしかないのである!!

こんなのが、真っ暗な空間に浮かんでいるのが現実だった!しかも46億年も!

暗闇の中でずっと光つづける1センチのパチンコ球の周りを、0.1ミリのホコリが1.1メートル離れて46億年もぐるぐる回っているという、なんとも奇妙な世界が現実の世界。

本に騙されてはいけない。

なにごとも、ちゃんと自分で考えてみるのが大事だと思う(・ω・)

このホコリの上で命が生まれ、人類が誕生して今に至るわけだけど、それもあと50億年もすればパチンコ球が赤色巨星となってブワーっと膨張しホコリを飲みこみ地球は消滅する。

なんだろね、いったい(-_-)

不思議だなーと思って、やっぱり小学生時代からあまり頭のなか変わってないなと再確認してしまいますね(;・∀・)
その他 リンダ. PC 2018年11月29日(木) 00:01
投稿ID:6781
ほんとそれof the yearですね。

ナニカのために勉強するのもいいですけど、そういう風にすげえなあみたいな感覚で勉強した方がいいですよね。

木星とか土星とかヤバイですよね。

宇宙ヤバイ。ホントにヤバイ。
男性 ラビすけ 神奈川県 PC 2018年11月29日(木) 12:55
投稿ID:6788
リンダさん、ほんとそれです。

木星もスケールダウンしてみました。

木星は直径1.1ミリメートルになります。
インスタントコーヒーのかけら1個くらいの大きさです。

コーヒーのかけら1個がパチンコ球の太陽から5.6メートル離れたところを周ってます。
5.6メートルは遠い!

それでも引力を及ぼし合って太陽の周りをまわっているのが、なんかすごいです。

調べて知ったんですけど、太陽と木星の質量重心はなんと太陽表面の外側にあり(!!)、その質量重心のまわりを木星は周ってます。

恐るべしです"(-""-)"
  • 0
男性 ラビすけ 神奈川県 PC 2018年11月30日(金) 21:32
投稿ID:6805
量子力学のつづき。

JJサクライの演習問題のほうが教育的で良問なので、時間に依存するシュレディンガー方程式の問題紹介。

問)
ハミルトニアンが、

H=V{|1><2|+|2><1|}

で与えられるとき、固有値と固有ケットを求めなさい。

また、時刻t=0でケット|1>にある系が、時刻tで|2>にある確率を求めなさい。

解)
H|ψ>=E|ψ>

を解きエネルギー固有値と固有ベクトルを求める。

特性方程式は次のようになる。

det|H-EI|=0

(-λ)(-λ)-V^2=0

よって、λ=±V

固有値V,-Vに対応する固有ケットは次のようになる。

|V>=(1/√2)(|1>+|2>)

|-V>=(1/√2)(|1>-|2>)

これから、ケット|1>、|2>をエネルギーの固有ケットで表すと次式となる。

|1>=(1/√2)(|V>+|-V>)

|2>=(1/√2)(|V>-|-V>)

時刻t=0のケット|1>が時刻tにどのようなケットになっているかは、次の時間推進演算子をケット|1>に作用させればよい。

exp{-i(H/h)t}
ここで、hはプランク定数を2πで割ったもの

すると、

exp{-i(H/h)t} |1>

=exp{-i(H/h)t}{(1/√2)(|V>+|-V>)}

=exp{-i(V/h)t}{(1/√2)(|V>}+exp{i(V/h)t}{(1/√2)|-V>)}

=exp{-i(V/h)t}{(1/√2)(1/√2)(|1>+|2>)}
+exp{i(V/h)t}{(1/√2)(1/√2)(|1>-|2>)}

=(1/2){exp{-i(V/h)t}+exp{i(V/h)t}}|1>
+(1/2){exp{-i(V/h)t}-exp{i(V/h)t}}|2>

よって、|2>の確率振幅の2乗は、

|(1/2){exp{-i(V/h)t}-exp{i(V/h)t}}|^2

=[sin{(V/h)t}]^2(∵指数の展開はド・モアブルの定理から)

要はなにかっていうと、エネルギー固有ケットでないケット空間で任意のケットを展開すれば、時間発展にしたがって異なるケットに遷移する確率が増えるという意味。
女性 コカ iPhone 2018年12月03日(月) 00:31 編集済み
投稿ID:6819
あれ、新しいスレッドができてたんですね
気づきませんでした…
コメントはまったく書いてないのですがいつも
楽しく読まさせていただいてます…!(*• v •*)
男性 ラビすけ 神奈川県 Android Tablet 2018年12月03日(月) 07:21
投稿ID:6824
コカさん、こんにちは。編集作業してたら過ってスレ全部消してしまい新しくスレ立てました。
面白い問題見つけて書込みしてくので、よろしくです(^_^)
  • 0
男性 ラビすけ 神奈川県 iPhone 2018年12月05日(水) 23:23 編集済み
投稿ID:6851
質量欠損と結合エネルギー

高校物理で習う原子の分野に、質量欠損と結合エネルギーがある。
例えば、こんな問題がある。

原子番号Zで質量数Aの原子核の質量がMのとき、結合エネルギーΔEはいくらか。
ただし、陽子の質量をmp、中性子の質量をmnとする。

これは、核子をすべてバラバラにした静止エネルギーから結合している原子核の静止エネルギーを引き算して、

ΔE={Zmp+(A-Z)mn-M}c^2

と書ける。とか。

相対論で導かれる質量とエネルギーは等価であるという結論、E=mc^2を使って計算する問題。

そして、教科書には図など載っていて、載ってる例も原子核しか見たことない。
下の絵は、2個の重水素(陽子1個と中性子1個が結合したもの)とヘリウムの原子核(2個の陽子と2個の中性子が結合して1つの原子核になったもの)をてんびんに乗せると、バラバラにした2個の重水素のほうが重いというのを説明した図である。

こういうのを見ると、「質量欠損と結合エネルギー」というのは原子核の分野に特有のことかのように思えてしまうけど、そうではない。

何らかの力で結合している系は、すべて質量欠損しており、その質量欠損にc^2を掛けたものが結合エネルギーになる。

原子核は核力という強い力で相互作用している系。

では、例えば水素原子。これは陽子1個と電子1個が電磁気力で相互作用している系。これも、陽子1個と電子1個にバラバラにしたほうが質量が大きい。

もっとマクロな系。地球と月。地球と月は重力で相互作用して結合している系である。これも、地球と月をバラバラに、つまり地球と月を無限遠まで遠ざけた場合の質量のほうが大きい。

相対論のエネルギーと質量の等価性は「原子核に限る」のような制限は一切ない。すべてに当てはまる法則である。

逆に、相対論はそもそも宇宙の時空がどうなっているかというスケールの大きな話であったにもかかわらず、その理論の結果が原子核の結合エネルギーというミクロな世界まで規定しているということに驚くべきなのだ。

ではなぜ原子核のところで質量欠損のハナシが出てくるかというと、強い力は文字どおり強い力であって、質量欠損がその系の大きさに比べて顕著に目立つから。
ちなみに「強い力」というのは専門用語。さらにちなみに「弱い力」という専門用語もある(弱い力はベータ崩壊に関係した力)。

地球と月の質量欠損を計算してみよう。
月と地球を無限遠まで遠ざけるに必要な仕事が、まさに質量欠損である。
それは、無限遠をゼロとしたときの地球と月の結合エネルギー、つまりポテンシャルエネルギーに等しい。

ΔE=GMm/rで、M、m、G、r、はそれぞれ地球質量、月質量、万有引力定数、月と地球の距離である。実際数字を入れて、それを光速度cの2乗で割って、どれだけ質量が大きくなるか電卓で計算すると、10の12乗キログラム程度になる。月の質量が10の22乗程度だから、10桁も小さい値だが、それでも車1億台くらいの質量が増える。
  • 0
男性 ラビすけ 神奈川県 iPhone 2018年12月08日(土) 17:12
投稿ID:6874
大学入試問題紹介。

此答案用紙幾枚にて地球の全表面を被ひ得るかを計算せよ。
(この答案用紙何枚で地球の全表面を被えるかを計算せよ)
東京帝國大學(現・東京大学) 1921年 物理

1921年!!なんておおらかな問題でしょう!
地球の表面積を答案用紙の面積で割るくらいのことは受験生はやっただろうから、山とかの出っ張りをどう考えるかで差がつきそうです。
  • 0
男性 ラビすけ 神奈川県 PC 2018年12月09日(日) 12:55
投稿ID:6891
太陽炉とエントロピー

静岡や神奈川の人なら行ったことがあるかもしれないけど、伊豆に韮山反射炉という太陽炉がある。

ウィキから引用
「1840年(天保11年)のアヘン戦争に危機感を覚えた韮山代官江川英龍は海防政策の一つとして、鉄砲を鋳造するために必要な反射炉の建設を建議した。韮山反射炉は、1853年(嘉永6年)の黒船来航を受けて、江戸幕府直営の反射炉として築造が決定された。」

要は、太陽光を集光した高温を利用して鉄など溶解し、鉄砲などを作るのに用いた工業施設、だそうだ。

だれもが子供の頃にレンズで太陽光を1点に集光する実験をしたと思う。
太陽炉というのは、それを大がかりにしただけのものだ。

ここで疑問が生じる。

温度を上げるためには、たくさんのレンズやたくさんの鏡を使って、なるべくたくさんの太陽の光(おおざっぱな表現ですみません)を集めれば好きなだけ高い温度が得られるのではないだろうか?という疑問。

答えはNOなのだ。仮に、東京ドームくらい大きいレンズを使って太陽光を集光しても、温度の上限がある。

上限は、太陽の表面温度6000℃だ。

東京ドームも超えて東京都1つくらいの大きなレンズを作っても6000℃を超えることはできない。

例えを変えよう。
冷蔵庫にある卵をゆで卵にしたい。冷えた卵を温めるために、41℃のお風呂のお湯を卵にかける。ゆで卵にしたいからどんどん風呂の湯をかける。
直感でわかるように、これを繰り返しても卵の温度は風呂の温度41℃よりも高くはならず、ゆで卵にはならない。

6000℃の光をどんなに集光しても6000℃を超えた温度にはならないのである。

そんでエントロピーのハナシにつなげようとしたけど、物理の本質はこれに尽きてるから、この話はここで終了です。
  • 0
男性 ラビすけ 神奈川県 iPhone 2018年12月11日(火) 17:43
投稿ID:6925
難問パズル(らしい)

ネットからコピペ

問題
ある日、午前中に雪が降り始めた。
雪はつねに一定のペースで降る。
除雪車が正午(AM12時)ぴったりに動き出し、1時間で2マイルの除雪を完了し、さらに1時間で1マイルの除雪を完了した。
雪はいつ降り始めた?

解答
https://sist8.com/snow
午前11:23

感想
これは解けない。条件が足りない。
除雪車のスピードが積雪量に反比例することを問題文に書かないと。
それも含めて難問パズルなのかな。
外国では有名なパズルらしい。
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男性 ラビすけ 神奈川県 PC 2018年12月14日(金) 16:30
投稿ID:6995
物理と数学はぜんぜん違うというハナシ。
で、文学と音楽と物理は似てるかも?ってハナシ。

数学は、子供のころの算数から始まって小学/中学、さらに勉強したければ(且つ親に資産があれば)、高校/大学/大学院と進むのだろうけど、数学っていうのは発想と論理の世界で、言ってみれば人間の脳の中の世界。現実世界は全く無関係。数学やるのに学校や研究室や実験施設なんて不要。全部が人の脳の中の世界。そういえば、数学科の教授が図書館から借りた本を3年ほど返却せずに掲示板に貼りだされてるのを見たけど、そもそも、その人は大学に来ないし休講ばかりで、でもそれでも全然数学科の学生は構わないという始末なので、要するにそういう世界。

物理は違う。どんなに数学的に綺麗で美しい理論を作ろうが、それが実験で正しいという裏付けが無ければ単なる夢妄想のドリーマーで片付けられる。物理はこの自然世界を解明しようという分野であって、そのツールとして数学が大変有用というだけであって、数学に代わるツールがもし発明されれば物理屋はすぐにそのツールに飛びつくだろう。

話は飛ぶが、文学ってどうだろう。個人的には、文学は自然科学にとっても近い感じがしてる。とくに純文学。なにをしようが人の心は同じだから、同じようなところに感動し探求するのだと思う。さらに、音楽もそうだと思う。音楽のあの素晴らしさを表現できるのは数式でもなく文字でもなく、まさに音をもってしかできないところが物理に似ている。人智を超えたものに畏怖の念を抱くという、あー、、アいまいな表現だな…、
のが共通してるんじゃないかなー(>_<)

※絵は紀元前に古代ローマでいろいろ自然を考えててトンがってたプトレマイオスっていうオっちゃん。
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男性 ラビすけ 神奈川県 PC 2018年12月15日(土) 18:41
投稿ID:7023
幽霊を考えた。
※写真の黄色矢印を見ていただきたい。

心霊ものはマジで怖い。テレビ番組の特集とか、あれは視聴者が怖くなるように演出してるんだろうけど、なぜか怖い。幽霊って、いるのかいないのかわからないけど、太古の昔から国を問わずにその存在は今でも物議をかもしている。

見てください、これが幽霊です、と幽霊を連れてきて見せてくれた人は誰もいない。もしそれができてたのなら、幽霊はとっくに解明され怖くもなんともない存在になってたかもしれない。トラやライオンやクマは人間にとって恐ろしい存在だけれど、それらを人間は熟知しているから、突然の恐怖に襲われずに済んでいる。幽霊と猛獣の決定的な違いがここにある。知らないものへの怖れが幽霊への怖れだと思う。

幽霊をいるとしよう。
幽霊とはこれこれこういうものであるなど定義はないのだけれど何もわからないけれどいるとしよう。そしてどこまで考えられるかやってみよう。

心霊写真というのがある。見るからに恐ろしい。いないはずの人が映っていたり腕が半分消えてたり。ぞぞぞ~、である。

ところで、写真ってなんだ?と考える。写真とは、物体に光があたり、その反射波にフィルムの感光板が反応し反射波を記録するものである。昔の写真はフィルムだった。フィルムに反射波の色と強度が記録された。いまはデジカメである。やってることは同じだ。反射波の記録の仕方が違うだけである。

写真の話は続く。写真に写るためには光を反射しなくてはならない。物質は光を反射する。だから写真に映る。心霊写真が撮れた、という。つまり、霊は光を反射しているのである。光を反射するのは物質である。さらに細かいことを言えば、物質を構成している電子が光を反射しているのである。
つまり、幽霊も物質からできているはずである。

人の目は光の波長が200nmから400nmくらいまでのものにしか反応できない。可視光という。可視光の波長外の赤外線や紫外線は見えないのである。さらにマイクロ波やX線はγ線を見ることはできない。
なぜか霊は可視光の領域の光を反射し心霊写真として写真に映る。しかも心霊写真の輪郭がくっきりしてるから、気体や流体などではなく常温で形を保っている物質である。

つまり、心霊写真に映る幽霊とは普通の物質と同じである。そうでなければ写真に映りようがないのである。幽霊だから特別ということはない。自然法則は物質も幽霊もすべてにおいて平等に成立するからである。

という幽霊考察でした。

そうそう、写真の黄色矢印の手も誰の手か知らないけど、明らかに手ですよ。
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